Question

11．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由．
（3）若∠DGC=60°，DG=6cm，求EG的長．

Answer 1

分析 （1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直；
（3）由平行線的性質(zhì)得到∠ADG=∠DGC，根據(jù)∠GDF=∠ADF，∠GDF=30°，利用直角三角形性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∵E為AB的中點，
∴AE=BE，
在△ADE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BFE}\\{∠AED=∠BEF}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，
理由為：連接EG，
∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，
∴∠GDF=∠BFE，
由（1）△ADE≌△BFE得：DE=FE，即GE為DF上的中線，
∴GE垂直平分DF．

（3）解：∵AD∥BC，∠DGC=60°，
∴∠ADG=∠DGC=60°，
∵∠GDF=∠ADF，
∴∠GDF=30°，
由（2）知：EG⊥DF，
在Rt△GED中
EG=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$×6=3cm．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．