Question

4．如圖，四邊形各邊中點(diǎn)及對(duì)角線中點(diǎn)共六個(gè)點(diǎn)中，任取四個(gè)點(diǎn)連成四邊形，最多可以有幾個(gè)平行四邊形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 在四邊形ABCD中，由F，G，H，E分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得FG∥AC，EH∥AC；FG=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$AC，那么FG∥EH，F(xiàn)G=EH，根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得到四邊形FGHE是平行四邊形；同理可得四邊形MGNE與四邊形FMHN都是平行四邊形；即最多可以有3個(gè)平行四邊形．

解答 解：最多可以有3個(gè)平行四邊形，即?FGHE；?MGNE；?FMHN．利用如下：
∵在四邊形ABCD中，F(xiàn)，G，H，E分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$AC，
∴FG∥EH，F(xiàn)G=EH，
∴四邊形FGHE是平行四邊形；
∵在四邊形ABCD中G，E，M，N分別是BC，DA，BD，AC的中點(diǎn)，
∴MG∥CD，EN∥CD，MG=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，
∴MG∥EN，MG=EN，
∴四邊形MGNE是平行四邊形；
∵在四邊形ABCD中F，H，M，N分別是AB，CD，BD，AC的中點(diǎn)，
∴FM∥AD，NH∥AD；FM=$\frac{1}{2}$AD，NH=$\frac{1}{2}$AD，
∴FM∥NH；FM=NH，
∴四邊形FMHN是平行四邊形，
∴最多可以有3個(gè)平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．也考查了平行四邊形的判定．