Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1）、D（-2，0），作直線AD并以線段AD為一邊向上作正方形ABCD．
（1）填空：點B的坐標為（-1，3），點C的坐標為（-3，2）．
（2）若正方形以每秒$\sqrt{5}$個單位長度的速度沿射線DA向上平移，直至正方形的頂點C落在y軸上時停止運動．在運動過程中，設正方形落在y軸右側部分的面積為S，求S關于平移時間t（秒）的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點C作CC′⊥x軸于點C′，由全等三角形的性質(zhì)可知AB′=CC′=DO，BB′=DC′=AO，結合各邊的關系即可找出B、C點的坐標；
（2）按圖形的變化分成三部分：①用時間t表示出直角三角形兩直角邊長度，套用三角形面積公式即可得出結論；②用時間t表示出直角梯形上、下底與高的長度，套用梯形的面積公式即可得出結論；③由正方形的面積減去剩下直角三角形的面積即可得出結論．

解答 解：（1）過點B作BB′⊥y軸于點B′，過點C作CC′⊥x軸于點C′，如圖1所示．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°．
∵BB′⊥y軸，
∴∠BB′A=90°，
∴∠BAB′+∠DAO=180°-∠BAD=90°，∠BAB′+∠ABB′=90°，
∴∠DAO=∠ABB′．
在△ABB′和△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAO=∠ABB′}\\{∠AB′B=∠DOA=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABB′≌△DAO（AAS）；
同理△CDC′≌△DAO．
∴AB′=CC′=DO，BB′=DC′=AO．
∵點A（0，1）、D（-2，0），
∴AB′=CC′=DO=2，BB′=DC′=AO=1，
∴OB′=OA+AB′=3，OC′=OD+DC′=3，BB′=1，CC′=2，
故點B的坐標為（-1，3），點C的坐標為（-3，2）．
故答案為：（-1，3）；（-3，2）．
（2）AB=BC=CD=DA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
整個運動過程分成三部分：
①點B沒有運動到y(tǒng)軸右側時，如圖1所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，AE=2$\sqrt{5}$t，
此時0＜AE≤AB，即0＜2$\sqrt{5}$t≤$\sqrt{5}$，
解得：0＜t≤$\frac{1}{2}$．
S=$\frac{1}{2}$AF•AE=5t²；
②點B運動到了y軸右側，點D還未運動到y(tǒng)軸右側，過B作BM∥y軸，交AD于點M，如圖2所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BE=MF=AF-AM=$\sqrt{5}$t-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
此時AM＜AF≤AD，即$\frac{\sqrt{5}}{2}$＜$\sqrt{5}$t≤$\sqrt{5}$，
解得：$\frac{1}{2}$＜t≤1．
S=$\frac{1}{2}$（BE+AF）AB=$\frac{1}{2}×（\sqrt{5}t+\sqrt{5}t-\frac{\sqrt{5}}{2}）×\sqrt{5}$=5t-$\frac{5}{4}$；
③點D運動到了y軸右側，點C還未運動到y(tǒng)軸右側，過C作CM∥y軸交直線AD于點M，令CD與y軸的交點為N，如圖3所示．

其中AF=$\sqrt{5}$t，DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，CE=MF=AD+DM-AF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-$\sqrt{5}$t，DF=AF-AD=$\sqrt{5}$t-$\sqrt{5}$，
∵∠NCE=∠NDF=90°，∠CNE=∠DNF，
∴△CNE∽△DNF，
∴$\frac{CN}{DN}=\frac{CE}{DF}$，
又∵CN+DN=$\sqrt{5}$，
∴CN=$\frac{3-2t}{2t-2}$DN，CN=3$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t．
此時AD＜AF≤AM，即$\sqrt{5}$＜$\sqrt{5}$t≤$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
解得：1＜t≤$\frac{3}{2}$．
S=AB•AD-$\frac{1}{2}$CE•CN=$\sqrt{5}×\sqrt{5}-\frac{1}{2}×（\frac{3\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5}t）×（3\sqrt{5}-2\sqrt{5}t）$=-5t²+15t-$\frac{25}{4}$．
綜上可知：S關于平移時間t（秒）的函數(shù)關系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{5{t}^{2}（0＜t≤\frac{1}{2}）}\\{5t-\frac{5}{4}（\frac{1}{2}＜t≤1）}\\{-5{t}^{2}+15t-\frac{25}{4}（1＜t≤\frac{3}{2}）}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、一元一次不等式的應用、三角形的面積公式以及直角梯形的面積公式，解題的關鍵：（1）由全等三角形的性質(zhì)找出△ABB′和CC′D各邊的長度；（2）解一元一次不等式找出不同情況下t的取值范圍．本題屬于中檔題，（1）難度不大，由于是填空題，可以不用去證三角形全等省去不少時間；（2）難度不大，但是過程繁瑣，做題過程中不僅用到了解一元一次不等式找x的取值范圍，還用到了三角形、直角梯形的面積公式，故在解決該題型題目時，細心觀察圖形，通過圖形的變化分類是關鍵．