Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒一個單位長度的速度運動t秒（t＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點O和點P．
（1）求c、b的值．（可以用含有t的代數(shù)式表示）
（2）拋物線y=-x²+bx+c與直線x=1和x=5分別交于M、N兩點當(dāng)t＞1時，
①在點P的運動過程中，你認(rèn)為sin∠MPO的大小是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，求出sin∠MPO的值．
②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
③是否存在這樣的t值，使得MP∥ON？如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點O和點P的橫縱坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，即可求出b，c；
（2）①根據(jù)解析式及M的橫坐標(biāo)，求出點M的坐標(biāo)，求出AM，AP的長度，根據(jù)三角函數(shù)即可解答；
②求出點N的坐標(biāo)，分兩種情況分別求解：當(dāng)1＜t≤5時，根據(jù)S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△APM，求出S和t的關(guān)系式；當(dāng)t＞5時，根據(jù)S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM，求出S和t的關(guān)系式；
③根據(jù)平行線的判定方法，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可求出t的值．

解答 解：（1）由題意可知，點O（0，0），點P（t，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點O和點P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{t}^{2}+bt=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+tx；

（2）當(dāng)t＞1時，
①sin∠MPO的大小不會變化；
當(dāng)x=1時，y=t-1，即M（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，
∴sin∠MPO=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，是定值．
②點x=5時，y=5t-25，即N（5，5t-25），
當(dāng)1＜t≤5時，如圖1，
過點N作NB⊥MA于點B，
S_△MPN=S_△APM+S_梯形ABNP-S_△APM
=$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{1}{2}$（t-1+4）×（5t-25）-$\frac{1}{2}$（t-1-5t+25）×4，
=-2t²+12t-10，

當(dāng)t＞5時，如圖2，
S_△MPN=S_梯形MABN+S_△NBP-S_△APM
=$\frac{1}{2}$（t-1+5t-25）×4+$\frac{1}{2}$（5t-25）（t-5）-$\frac{1}{2}$（t-1）²，
=2t²-12t+10，
即：S=10$\left\{\begin{array}{l}{-2{t}^{2}+12t-10（1＜t≤5）}\\{2{t}^{2}-12t+10（t＞5）}\end{array}\right.$；



③存在；
理由：如圖3，
當(dāng)∠OPM=45°時，要使MP∥ON，需滿足∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x²+tx得-25+5t=-5．
解得t=4．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決第（1）小題的關(guān)鍵是能熟練掌握待定系數(shù)法；解決第（2）小題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)、根據(jù)整體減部分的方法求三角形的面積、平行線的判定．