Question

8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，點(diǎn)D、E分別是邊AC、AB上的任意一點(diǎn)，把△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A₁．
（1）如圖①，若A₁是BC邊的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
（2）如圖②，若CD=$\frac{9}{4}$，點(diǎn)A₁在BC邊上．求證：四邊形ADA₁E是菱形．
（3）若點(diǎn)A₁落在BC的下方，A₁D、A₁E與BC邊分別相交于點(diǎn)M、N．
①如圖③，當(dāng)△A₁MN是等腰三角形（A₁M=A₁N），求tan∠CDM的值；
②是否還有△A₁MN是等腰三角形的其他情形？若存在，直接寫出tan∠CDM的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△A₁CD中，根據(jù)勾股定理得：x²+4²=（6-x）²，求x的值，得CD的長(zhǎng)；
（2）如圖②，由折疊得：A₁D=AD=$\frac{15}{4}$，利用勾股定理得：A₁C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，證明△CA₁D∽△CBA，利用對(duì)應(yīng)角相等和平行線的判定先證明四邊形ADA₁E是平行四邊形，再加上一組鄰邊相等可得結(jié)論；
（3）①如圖③，作輔助線構(gòu)建角平分線，求PQ和AQ的長(zhǎng)，根據(jù)同角的三角函數(shù)可得：tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)A₁N=MN時(shí)，tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；當(dāng)A₁M=MN時(shí)，tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．

解答 解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
設(shè)CD=x，則A₁D=AD=6-x，又A₁C=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△A₁CD中有x²+4²=（6-x）²，
解得：x=$\frac{5}{3}$，
∴CD=$\frac{5}{3}$；
（2）如圖②，在Rt△A₁CD中，A₁D=AD=6-$\frac{9}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴A₁C=$\sqrt{（\frac{15}{4}）^{2}-（\frac{9}{4}）^{2}}$=3，
由$\frac{CD}{CA}=\frac{3}{8}=\frac{C{A}_{1}}{CB}$，
∵∠C=∠C，
∴△CA₁D∽△CBA，
∴∠CA₁D=∠B，
∴A₁D∥BA，
∵∠EA₁C=∠EA₁D+∠DA₁C=∠A+∠B=90°，
∴EA₁∥AD，
∴四邊形ADA₁E是平行四邊形，
∵A₁D=AD，
∴?ADA₁E是菱形；
（3）①如圖③，當(dāng)A₁M=A₁N時(shí)，過點(diǎn)A₁作A₁H⊥BC，
由折疊得：∠BAC=∠DA₁E，
∵AC∥A₁H，
則∠CDM=∠MA₁H=$\frac{1}{2}$∠BAC，
作∠CAB的平分線AP交CB于點(diǎn)P，過P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，則CP=PQ，
設(shè)CP=y，
在Rt△PQB中，有y²+4²=（8-y）²，
解得：y=3，
∴tan∠CDM=tan∠CAP=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)A₁N=MN時(shí)，如圖④，
∴∠A₁MN=∠A₁，
∵∠A=∠A₁，∠CMD=∠A₁MN，
∴∠A=∠CMD，
∵tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠CMD=$\frac{CD}{CM}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠CDM=$\frac{3}{4}$；
當(dāng)A₁M=MN時(shí)，如圖④，
∴∠MA₁N=∠MNA₁=∠A，
過A₁作A₁H⊥BC于H，
tan∠A=tan∠MNA₁=$\frac{4}{3}$=$\frac{{A}_{1}H}{HN}$，
設(shè)A₁H=4x，HN=3x，A₁M=MN=a，MH=a-3x，
在Rt△MA₁H中，a²-（a-3x）²=（4x）²，
a=$\frac{5}{6}$x，
∵CD∥A₁H，
∴∠CDM=∠MA₁H，
tan∠CDM=tan∠MA₁H=$\frac{MH}{AH}$=$\frac{\frac{25}{6}x-3x}{4x}$，
∴tan∠CDM=$\frac{7}{24}$．
則tan∠CDM的值是$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{4}$或$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)和判定，本題設(shè)未知數(shù)，多次運(yùn)用勾股定理列方程，求解即可；第3問有難度，分類討論，分別以一邊為腰，利用三角函數(shù)列等式，解決問題．