Question

3．已知，如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M為BD的中點，AB=AD，BD=$2\sqrt{17}$，CD=2．
（1）取AC中點E，連接ME，求證：ME⊥AC；
（2）在（1）的條件下，過點M作CD的垂線l，垂足為F，并交AC于點G，試說明：△MEG是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AM=CM，根據(jù)三線合一得到結(jié)論；
（2））由∠AME+∠MAE=90°，得到∠EMD=∠MAE=∠MCE，由線段的中點得到MD=$\frac{1}{2}$BD，所以△DMC是等腰三角形，由三線合一得到MF⊥CD，∠DMF=∠CMF，于是∠EMG=∠EMD+∠DMF，∠EGM=∠MCE+∠CMF，推出∠EMG=∠EGM，由等角對等邊得到EM=EG，又∠MEG=90°，得到△MEG是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}$BD，CM=$\frac{1}{2}$BD，
∴AM=CM，
∵E是AC的中點，即ME是等腰三角形AMC的底邊中線，
∴ME⊥AC，
∵AM=CM，
∴∠MAE=∠MCE，
∵AB=AD，AM是中線，
∴AM⊥BD，
∴∠AMD=90°，
∴∠AME+∠EMD=90°，
∵M(jìn)E⊥AC，
（2）∵∠AME+∠MAE=90°，
∴∠EMD=∠MAE=∠MCE，
∵CM=$\frac{1}{2}$BD=DM，
∵M(jìn)F⊥CD，
∴∠DMF=∠CMF，
∵∠EMG=∠EMD+∠DMF，
∠EGM=∠MCE+∠CMF，
∴∠EMG=∠EGM，
∴EM=EG，
又∵∠MEG=90°，
∴△MEG是等腰直角三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．