Question

16．如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．求證：
（1）AE=CF；
（2）四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質得出AB=CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質得出∠ADE=∠CBF，求出∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)AAS推出△ADE≌△CBF即可；
（2）證出AE∥CF，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}&{\;}\\{∠AED=∠CFB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．

（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
由（1）得AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質，平行線的性質，全等三角形的性質和判定的應用；熟練掌握平行四邊形的性質，解此題的關鍵是證明△ADE≌△CBF．