Question

1．如圖，點(diǎn)M是Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，連接CM，作線段CM的垂直平分線，分別交邊CB和CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB=$\frac{2}{5}$，則DE=$\frac{29}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AC=2k，BC=5k，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$k=20，得到BC=$\frac{100}{\sqrt{29}}$，連接DM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM=CM=BM$\frac{1}{2}$AB=10，由DE是線段CM的垂直平分線，得到CD=DM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD=$\sqrt{29}$，根據(jù)勾股定理得到DN=$\sqrt{C{D}^{2}-C{N}^{2}}$=2，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵∠C=90°，tanB=$\frac{2}{5}$，
設(shè)AC=2k，BC=5k，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$k=20，
∴k=$\frac{20}{\sqrt{29}}$，
∴BC=$\frac{100}{\sqrt{29}}$，
連接DM，
∵∠C=90°，點(diǎn)M是Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AM=CM=BM$\frac{1}{2}$AB=10，
∴∠MCB=∠B，
∵DE是線段CM的垂直平分線，
∴CD=DM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴△CDM∽△CMB，
∴$\frac{CM}{BC}$=$\frac{CD}{CM}$，
∴CD=$\sqrt{29}$，
∵DE垂直平分CM，
∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，
∴∠E=∠NCD，
∴△CDE∽△CDN，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{DN}{CD}$，
∵DN=$\sqrt{C{D}^{2}-C{N}^{2}}$=2，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{DN}$=$\frac{29}{2}$．
故答案為：$\frac{29}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，線段的垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．