Question

6．如圖，過(guò)?ABCD的各頂點(diǎn)分別作對(duì)角線的垂線AE、BF、CG、DH．垂足分別為E、F、G、H．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，然后根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行證明即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO=90°，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CGO}\\{∠AEO=∠CGO}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形和三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．