Question

11．以AB為直徑的⊙O分別與四邊形ABCD的邊切于點A、E、B，DB=DC．
（1）求證：CE=2DE；
（2）若⊙O的半徑為2$\sqrt{2}$，求：S_四ABCD．

Answer 1

分析 （1）作DH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CH=BH，再根據(jù)切線長的性質(zhì)得AB⊥AD，AB⊥BC，根據(jù)切線長定理得DA=DE，CE=CB，所以四邊形ABHD為矩形，則AD=BH=DE=BH，于是得到CE=CB=2DE；
（2）由四邊形ABHD為矩形得到AB=DH=4$\sqrt{2}$，設(shè)AD=x，則CH=x，BC=2x，CD=CE+DE=x+2x=3x，然后在Rt△CDH中利用勾股定理得x²+（4$\sqrt{2}$）²=（3x）²，解得x=2，然后根據(jù)梯形的面積公式求解．

解答 （1）證明：作DH⊥BC于H，如圖，
∵DB=DC，
∴CH=BH，
∵⊙O分別與四邊形ABCD的邊切于點A、E、B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，DA=DE，CE=CB，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴AD=BH，
∴DE=AD=BH，
∴CE=CB=2DE；
（2）解：∵四邊形ABHD為矩形，
∴AB=DH=4$\sqrt{2}$，
設(shè)AD=x，則CH=x，BC=2x，CD=CE+DE=x+2x=3x，
在Rt△CDH中，x²+（4$\sqrt{2}$）²=（3x）²，解得x=2，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$×（2+4）×4$\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了切線長定理和等腰三角形的性質(zhì)．