Question

6．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交BD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，求證：CE是△CGF外接圓的切線．

Answer 1

分析 通過全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等知∠DAE=∠DCE，由AD∥BF，求得∠DAE=∠F，∠GCF=∠ADC=90°，得出∠DCE=∠F，GF是△CGF外接圓的直徑，從而求得GH=CH，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠CGF=∠GCH，進(jìn)而就可求得CH⊥CE，即可求得結(jié)論．

解答 證明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的對(duì)角線平分對(duì)角），
在△DAE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=ED}\\{∠ADE=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∵AD∥BF，
∴∠DAE=∠F，∠GCF=∠ADC=90°
∴∠DCE=∠F，GF是△CGF外接圓的直徑，
∴圓心H是GF的中點(diǎn)，
∴GH=CH，
∴∠CGF=∠GCH，
∵∠F+∠CGF=90°，
∴∠GCE+∠GCH=90°，
∴CH⊥CE，
∴CE是△CGF外接圓的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，圓周角定理以及切線的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．