Question

18．如圖，AP是⊙O的切線，A為切點，AB是⊙O的弦，過點B作BC∥AP，交⊙O于點C，連接AC，過點C作CP∥AP于點P，連接AO并延長，交BC于點M，交過點C的直線于點D，且∠ACP=∠BCD
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=6，AB=9，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥PC得∠ACP=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCD=∠ACP，所以∠E=∠BCD，于是∠BCD+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AP，而BC∥AP，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM=6$\sqrt{2}$；設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計算出r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，則CE=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，利用中位線性質(zhì)得BE=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，然后判斷Rt△DCM∽Rt△CEB，根據(jù)相似比可計算出CD．

解答 解：（1）DC與圓O相切，理由為：
過C點作直徑CE，連接EB，如圖，
∵CE為直徑，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥PC，
∴∠ACP=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCD=∠ACP．
∴∠E=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCE=90°，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，
∴DC與圓O相切；
（2）∵AP是⊙O的切線，切點為A，
∴OA⊥AP，
∵BC∥AP，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6$\sqrt{2}$-r）²=r²，解得r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，
∴CE=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴BE=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，
∵∠E=∠MCD，
∴Rt△DCM∽Rt△CEB，
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{CM}{EB}$，
∴CD=$\frac{27}{7}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)．