Question

15．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD相交于點E，∠ADB=∠ACB．
求證：AD²=AE•AC．

Answer 1

分析 由AB=AD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由已知角相等，等量代換得到∠ABD=∠ACB，再由一對公共角，得到三角形BAE與三角形CAB相似，由相似得比例，等量代換即可得證．

解答 證明：∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠BAE=∠CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，即AB²=AC•AE，
∵AB=AD，
∴AD²=AC•AE；

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．