Question

20．如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，下列結(jié)論中錯誤的是（　�。�

• A． OF=OE
• B． BE+BF=$\sqrt{2}$OA
• C． 在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=$\frac{3}{4}$
• D． AE•BE=BO•BG．

Answer 1

分析 A、易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結(jié)論A正確；
B、由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，證得BE+BF=$\sqrt{2}$OA，選項(xiàng)B正確；
C、設(shè)AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得選項(xiàng)C錯誤；
D、證明△BOE∽△BFG，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出選項(xiàng)D正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，ABC=90°，∠BAO=∠ABO=∠OBC=45°，AC⊥BD，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠OBE=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=$\sqrt{2}$OA，選項(xiàng)A、B正確；
過點(diǎn)O作OH⊥BC，如圖所示：
∵BC=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
設(shè)AE=x，則BE=CF=1-x，BF=x，
∴S_△BEF+S_△COF=$\frac{1}{2}$BE•BF+$\frac{1}{2}$CF•OH=$\frac{1}{2}$x（1-x）+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{32}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，S_△BEF+S_△COF最大；
即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=$\frac{1}{4}$；故選項(xiàng)C錯誤；
∵AB=BC，BE=CF，
∴AE=BF，
∵∠OEG=∠OBC，∠OGE=∠FGB，
∴∠BOE=∠BFG，
又∵∠OBE=∠FBG=45°，
∴△BOE∽△BFG，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{BO}{BF}$，
∴BF•BE=BO•BG，
∵AE=BF，
∴AE•BE=BO•BG，選項(xiàng)D正確；
故選：C．

點(diǎn)評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題．注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．