Question

3．如圖1，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點B作⊕O的切線，與CA的延長線相交于點E，F(xiàn)是BE的中點，延長AF與CB的延長線相交于點P．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）如圖2，若AD⊥BC于點D，連接CF與AD相交于點G，求證：AG=GD；
（3）在（2）的條件下，若FG=BF，且⊙O的半徑長為3$\sqrt{2}$，求BD的長度．

Answer 1

分析 （1）要證PA是⊙O的切線，就要證明∠PAO=90°，連接AO，AB，根據(jù)（1）的結(jié)論和BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又點F是EB的中點，就可得出結(jié)論；
（3）點F作FH⊥AD于點H，根據(jù)前兩問的結(jié)論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的長度．

解答 解：
（1）證明：（如圖1）
連結(jié)AO，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
在Rt△BAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點，
∴AF=FB=EF，
∴∠FBA=∠FAB，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠EBO=90°，
∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，
∴PA是⊙O的切線；
（2）證明：∵BC是⊙O的直徑，BE是⊙O的切線，
∴EB⊥BC．
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE，
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{CF}{CG}$，$\frac{EF}{AG}$=$\frac{CF}{CG}$，
∴$\frac{BF}{DG}$=$\frac{EF}{AG}$，
∵F是斜邊BE的中點，
∴BF=EF，
∴DG=AG；
（3）解：過點F作FH⊥AD于點H，（如圖2）
∵BD⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，
∴FH∥BC．
由（2），知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF．
由已知，有BF=FG，
∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形．
∵FH⊥AD，
∴AH=GH，
∵DG=AG，
∴DG=2HG，
即$\frac{HG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四邊形BDHF是矩形，BD=FH，
∵FH∥BC，易證△HFG∽△DCG，
∴$\frac{FH}{CD}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{HG}{DG}$，
即$\frac{BD}{CD}$=$\frac{FG}{CG}$=$\frac{HG}{DG}$=$\frac{1}{2}$．
∵⊙O的半徑長為3$\sqrt{2}$，
∴BC=6$\sqrt{2}$．
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BD}{BC-BD}$=$\frac{BD}{BD-6\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得BD=2$\sqrt{2}$．
∴BD=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的是切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可