Question

11．如圖，在△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，∠ABC的角平分線BF交DE于△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，連接PC．
（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度數(shù)；
（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，請(qǐng)直接寫出m，n滿足的關(guān)系式：m+3n=120．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得∠PBC=∠PCB，根據(jù)角平分線的定義，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ABP的度數(shù)；
（2）運(yùn)用（1）中的方法，即可得出m，n滿足的關(guān)系式．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°-24°，
∴3∠ABP=120°-24°，
∴∠ABP=32°；

（2）∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC=∠ABP，
∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，
∵∠A=60°，∠ACP=m°，
∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°-m°，
∴3∠ABP=120°-m°，
∴3n°+m°=120°，
故答案為：m+3n=120．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；三角形內(nèi)角和等于180°．