Question

10．已知$\frac{1}{3}$≤a≤1，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1，在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為m（a），令g（x）=M（a）-m（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 先計(jì)算f（x）的對(duì)稱軸，由$\frac{1}{3}$≤a≤1得1≤$\frac{1}{a}$≤3，可知拋物線開(kāi)口向上，有最小值；則m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，再根據(jù)a的值分兩種情況進(jìn)行討論，得出結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的對(duì)稱軸是x=-$\frac{-2}{2a}$=$\frac{1}{a}$，
∵$\frac{1}{3}$≤a≤1，
∴1≤$\frac{1}{a}$≤3，拋物線開(kāi)口向上，有最小值，
∴m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∵f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為m（a），
①當(dāng)1≤$\frac{1}{a}$≤2時(shí)，即$\frac{1}{2}$≤a≤1時(shí)，
M（a）=f（3）=9a-5，m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∴g（a）=M（a）-m（a）=9a-5-1+$\frac{1}{a}$=9a+$\frac{1}{a}$-6，
②當(dāng)2＜$\frac{1}{a}$≤3時(shí)，即$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
M（a）=f（1）=a-1，m（a）=f（$\frac{1}{a}$）=1-$\frac{1}{a}$，
∴g（a）=M（a）-m（a）=a-1-1+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$-2，
綜上所述：g（a）的表達(dá)式為：$\left\{\begin{array}{l}{9a+\frac{1}{a}-6（\frac{1}{2}≤a≤1）}\\{a+\frac{1}{a}-2（\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題比較難理解，二次函數(shù)的最值分三種情況計(jì)算：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-$\frac{2a}$時(shí)，y=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．本題屬于第三種情況，因此難度較大．