Question

1．在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC．
（1）如圖1，若AB=3$\sqrt{2}$，BC=5，求AC的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn)，MD=MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC=AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

分析 （1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，證△BMD≌△AMC得AC=BD，再證△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，從而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．

解答 解：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
則CM=BC-BM=5-3=2，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$；

（2）延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，連接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，F(xiàn)G=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=CE=BG，
因此∠BDG=∠G=∠E．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．