Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上．C在y軸的負(fù)半軸上，AC所在直線為y=kx-12．AC⊥BC．BC的長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$倍是方程x²-3x-10=0的根．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）若直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平分△AOC的面積，求直線L的解析式；
（3）在（2）的條件下設(shè)直線L交x軸于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)P：使以點(diǎn)A，D，P，C為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先解方程求得方程的解，則BC的長(zhǎng)度即可求得，然后證明△AOC∽△COB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OA的長(zhǎng)，則A的坐標(biāo)即可求得；
（2）直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平分△AOC的面積，則直線一定經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）分成四邊形ACPD是梯形和四邊形APCD是梯形兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)四邊形ACPD是梯形時(shí)，首先求得AC的解析式，根據(jù)AC∥PD即可求得PD的解析式，則P的坐標(biāo)即可求得，同理求得四邊形APCD是梯形時(shí)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）解方程x²-3x-10=0得x₁=5，x₂=-2，
則BC=3×5=15，
在y=kx-12中，令x=0，解得y=-12，則C的坐標(biāo)是（0，-12），OC=12．
在直角△BOC中，OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}-1{2}^{2}}$=9，則B的坐標(biāo)是（0，9）．
∵∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
又∵直角△AOC中，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCO=∠CAO，
又∵∠AOC=∠BOC，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{OA}{12}$=$\frac{12}{9}$，
解得：OA=16，
則A的坐標(biāo)是（-16，0）；
（2）OA的中點(diǎn)D是（-8，0），
設(shè)直線L的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-8k+b=0}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
則直線L的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-12；
（3）當(dāng)四邊形ACPD是梯形時(shí)，如圖1．
設(shè)AC的解析式是y=mx+n，根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{-16m+n=0}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=-12}\end{array}\right.$，
則直線AC的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x-12，
設(shè)DP的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x+c，則6+c=0，
解得：c=-6．
則DP的解析式是y=-$\frac{3}{4}$x-6，
令x=0，解得y=-6，則P的坐標(biāo)是（0，-6）；
當(dāng)四邊形APCD是梯形時(shí)，如圖2，
同理，CD的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-12，
AP的解析式是y=-$\frac{3}{2}$x-24，則P的坐標(biāo)是（0，-24）．
故P的坐標(biāo)是（0，-6）或（0，-24）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行討論是本題的關(guān)鍵．