Question

5．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連接DE，下列結(jié)論：①∠AED=∠CED；②△AED為等腰三角形；③EH=CE；④圖中有3個等腰三角形．結(jié)論正確的個數(shù)為（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 先證明△ABE和△ADH等腰直角三角形，得出AD=AE，AB=AH=DH=DC，得出∠ADE=∠AED，即可得出①②正確；證出∠EDH=∠EDC，由角平分線的性質(zhì)得出③正確；圖中有3個等腰三角形，得出④正確即可．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵∠BAD的平分線交BC于點E，
∴∠BAE=∠DAH=45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，AD=$\sqrt{2}$AH，
∵AD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AH，
∴AD=AE，AB=AH=DH=DC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AED=∠CED，故①②正確；
∵DH⊥AE，DC⊥CE，∠AED=∠CED，
∴∠EDH=∠EDC，
∴EH=CE，故③正確；
∵△ABE和△ADH是等腰直角三角形，△AED為等腰三角形，
∴圖中有3個等腰三角形，故④正確；
故選：D．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．