Question

17．如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C是雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的上，將AB沿BC方向從B平移到C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，恰有AB=$\frac{1}{2}$BC，且點(diǎn)D也在雙曲線上，則k的值等于12．

Answer 1

分析 由A（0，2），B（1，0），計(jì)算出AB=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，由AB=$\frac{1}{2}$BC，得出BC=2AB=2$\sqrt{5}$．設(shè)D（x，y），根據(jù)點(diǎn)D在雙曲線上得到xy=k．根據(jù)平移的性質(zhì)得出C（x+1，y-2），那么（x+1）（y-2）=k．根據(jù)題意，列出方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-2）^{2}=20①}\\{xy=（x+1）（y-2）②}\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴AB=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴BC=2AB=2$\sqrt{5}$．
設(shè)D（x，y），則xy=k．
∵將AB沿BC方向從B平移到C，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，
∴C（x+1，y-2），則（x+1）（y-2）=k．
根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-2）^{2}=20①}\\{xy=（x+1）（y-2）②}\end{array}\right.$，
由②得，y=2x+2③，
把③代入①，解得x=±2（負(fù)值舍去），
∴x=2，此時(shí)y=6，
∴k=2×6=12．
故答案為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式，坐標(biāo)與圖形變化-平移等知識(shí)，設(shè)D（x，y），根據(jù)平移的性質(zhì)得出C點(diǎn)坐標(biāo)為（x+1，y-2），是解題的關(guān)鍵．