Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是ts（0＜t≤15）．過點DDF⊥BC于點F，連接DE，EF．
（1）求證：四邊形AEFD為平行四邊形；
（2）填空：
①當t=10時，四邊形AEFD為菱形；
②當t=7.5時，四邊形DEBF為矩形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時間和速度表示出AE和CD的長，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出DF的長為4t，則AE=DF，再證明，AE∥DF即可解決問題．
（2）①根據(jù)（1）的結論可以證明四邊形AEFD為平行四邊形，如果四邊形AEFD能夠成為菱形，則必有鄰邊相等，則AE=AD，列方程求出即可；
②由題意得出∠ADE=∠C=30°，由直角三角形的性質得出AD=2AE，得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：由題意得：AE=2t，CD=4t，
∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°，
∵∠C=90°-60°=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4t=2t，
∴AE=DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD=∠B=90°，
∴DF∥AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）解：①∵DF⊥BC
∴∠CFD=90°
∵∠B=90°
∴∠B=∠CFD
∴DF∥AB，
由（1）得：DF=AE=2t，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，
解得：t=10，
即當t=10時，?AEFD是菱形，
故答案為：10；

②若四邊形DEBF為矩形．則DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE，
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t=60-4t，
∴t=7.5；
故答案為：7.5．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了直角三角形的性質、平行四邊形的判定、菱形的性質、矩形的性質等知識點，熟練掌握平行四邊形、菱形的判定是解題的關鍵．