Question

1．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的垂線AB，垂足為點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)B．延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)D，與PA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：PB為⊙O的切線．
（2）若⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，BP=2$\sqrt{5}$，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由SSS證明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；
（2）連接AD，證明△ADE∽△POE，得到$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，證出OC是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出AD=2OC，證明△OCB∽△OBP，得到$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，由已知設(shè)OC=t，則BC=2t，AD=2t．由△PBC∽△BOC，可得$\frac{EA}{EA+AP}$=$\frac{2}{5}$，進(jìn)而求出AE的值．

解答 （1）證明：連接OA，如圖1所示：
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，
∴PB=PA，
在△PBO和△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{OP=OP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB為⊙O的切線；
（2）解：連接AD，如圖2所示：
∵BD是直徑，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵BC=AC，OB=OD，
∴OC是△ABD的中位線，
∴AD=2OC，
∵∠OCB=∠PBO=90°，∠COB=∠BOP，
∴△OCB∽△OBP，
∴$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)OC=t，則BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}$=$\frac{PC}{BC}$，即$\frac{2t}{t}$=$\frac{PC}{2t}$，
∴PC=4t，OP=5t．
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{2t}{5t}$=$\frac{2}{5}$，
即$\frac{EA}{EA+AP}$=$\frac{2}{5}$，
∵PA=PB=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{EA}{EA+2\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
解得EA=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，作輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．