Question

15．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD邊上，連接BE、CE，EB平分∠AEC
（1）如圖1，判斷△BCE的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求線段BE的長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△BCE是等腰三角形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件，只要證明∠CBE=∠BEC即可．
（2）先證明四邊形ABCD是矩形，然后分別在RT△ECD，和RT△ABE中利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）如圖1中，結(jié)論：△BCE是等腰三角形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CB=CE，
∴△CBE是等腰三角形．
（2）解：如圖2中，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，
在RT△ECD中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，
∴AB=CD=$\sqrt{E{C}^{2}-{DE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
在RT△AEB中，∵∠A=90°AB=3．AE=1，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是這些知識(shí)的靈活運(yùn)用，屬于中考常考題型．