Question

6．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與C、D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，M為PQ中點(diǎn)．
（1）求證：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DP=8時(shí)，求線段BM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根據(jù)相似三角形的判定得出即可；
（2）作MN⊥QC，根據(jù)相似三角形的判定得出△MQN∽△PQC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，根據(jù)已知條件得到$\frac{MN}{PC}=\frac{1}{2}$，求得MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-8）=6，QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{BQ}$，求出BQ=16，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，
∴N為CQ的中點(diǎn)，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{1}{2}$，
又∵PC=DC-DP=20-8=12，
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=6，QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}=\frac{8}{BQ}$，
∴BQ=16，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=13，
∴BN=QB-QN=3，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=45，
∴BM=3$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．