Question

16．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DC=BD；
（2）求證：DE為⊙O的切線(xiàn)；
（3）若DE的長(zhǎng)為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，∠BAC=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD、AD，如圖，根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DB=DC；
（2）根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，證得OD∥AC，而DE⊥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得DE⊥OD，則可根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到DE為⊙O的切線(xiàn)；
（3）由∠BAC=60°可判斷△ABC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=60°，∠DAC=30°，在RT△AED中，根據(jù)正弦函數(shù)求得AD，進(jìn)而在RT△ACD中，根據(jù)正弦函數(shù)求得AC，即可求得AB，求得半徑．

解答 （1）證明：連接OD、AD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵△ABC為等腰三角形，
∴DB=DC；

（2）證明：∵OA=OB，DB=DC，
∴OD為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線(xiàn)；

（3）解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
∴∠DAC=30°，
∵DE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=2DE=5$\sqrt{3}$，
∵∠C=60°，
∴sinC=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10，
∴AB=AC=10，
∴⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．也考查了解直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)．