Question

17．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，直線y=-$\frac{3}{4}$x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．點(diǎn)P是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若點(diǎn)E′是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）用含m的代數(shù)式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；
（3）解題關(guān)鍵是識別出當(dāng)四邊形PECE′是菱形，然后根據(jù)PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形PECE′是菱形不存在時，P點(diǎn)y軸上，即可得到點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A （-1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²+4x+5．

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F(xiàn)（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-$\frac{3}{4}$m+3）|=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-$\frac{3}{4}$m+3）-0|=|-$\frac{3}{4}$m+3|．
由題意，PE=5EF，即：|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=5|-$\frac{3}{4}$m+3|=|-$\frac{15}{4}$m+15|
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{15}{4}$m+15，整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m=2或m=$\frac{13}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-（-$\frac{15}{4}$m+15），整理得：m²-m-17=0，
解得：m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=$\frac{13}{2}$、m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$這兩個解均舍去．
∴m=2或m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．

（3）假設(shè)存在．
作出示意圖如下：

∵點(diǎn)E、E′關(guān)于直線PC對稱，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．
∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．
當(dāng)四邊形PECE′是菱形存在時，
由直線CD解析式y(tǒng)=-$\frac{3}{4}$x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．
過點(diǎn)E作EM∥x軸，交y軸于點(diǎn)M，易得△CEM∽△CDO，
∴$\frac{ME}{OD}$=$\frac{CE}{CD}$=，即 $\frac{|m|}{4}$=$\frac{CE}{5}$，解得CE=$\frac{5}{4}$|m|，
∴PE=CE=$\frac{5}{4}$|m|，又由（2）可知：PE=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|
∴|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=$\frac{5}{4}$|m|．
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=$\frac{5}{4}$m，整理得：2m²-7m-4=0，解得m=4或m=-$\frac{1}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{5}{4}$m，整理得：m²-6m-2=0，解得m₁=3+$\sqrt{11}$，m₂=3-$\sqrt{11}$．
由題意，m的取值范圍為：-1＜m＜5，故m=3+$\sqrt{11}$這個解舍去．

當(dāng)四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，
此時P點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，E，C，E'三點(diǎn)重合與y軸上，也符合題意，
∴P（0，5）
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，5）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{4}$）或（4，5）或（3-$\sqrt{11}$，2$\sqrt{11}$-3）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法、菱形、相似三角形等多個知識點(diǎn)，重點(diǎn)考查了分類討論思想與方程思想的靈活運(yùn)用．需要注意的是，為了避免漏解，表示線段長度的代數(shù)式均含有絕對值，解方程時需要分類討論、分別計算