Question

11．如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=15°，∠BAC=90°，以BC為斜邊作等腰直角△BDC，若BC=2$\sqrt{3}$，則△BEC的面積是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過E作EF⊥BC，交BC于點F，在直角三角形BDC中，由BC的長求出DB與DC的長，由三角形DCB為等腰直角三角形，由∠DBC-∠ABC求出∠DBA的度數(shù)，在直角三角形BDE中，設DE=x，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得到BE=2x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出DC的長，由DC-DE求出EC的長，在等腰直角三角形ECF中，求出EF的長，由BC為底邊，EF為高，求出三角形BEC面積即可．

解答 解：過E作EF⊥BC，交BC于點F，
在Rt△BDC中，BC=2$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得：DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{6}$，
∵△DCB為等腰直角三角形，∠ABC=15°，
∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°-15°=30°，
在Rt△BED中，BD=$\sqrt{6}$，∠DBE=30°，
設DE=x，則有BE=2x，
根據(jù)勾股定理得：BE²=BD²+DE²，即4x²=6+x²，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴EC=DC-DE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∵△EFC為等腰直角三角形，
∴EF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$-1，
則S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC•EF=3-$\sqrt{3}$．
故答案為：3-$\sqrt{3}$

點評 此題考查了勾股定理，含30度直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，以及三角形面積求法，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．