Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，半徑為4的⊙O交坐標軸于A、B、C、D，點P為 弧BC上一個點（不與B、C點重合），連結(jié)PD．若△PAB的內(nèi)切圓圓心為G，半徑為1，則PD=5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作GM⊥AB于M，連接BG則∠GMP=90°，證明△OBD和△GPM是等腰直角三角形，得出PG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$，DG=DB=4$\sqrt{2}$，即可得出PD=PG+DG=5$\sqrt{2}$．

解答 解：作GM⊥PB于M，連接BG，如圖所示：
則∠GMP=90°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∵OD=OB，∠BOD=90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴∠OBD=45°，DB=$\sqrt{2}$OB=4$\sqrt{2}$，
∵點G即為△PAB的內(nèi)心，
∴GM=1，∠GPM=45°，∠PBG=∠ABG，
∴△GPM是等腰直角三角形，
∴PG=$\sqrt{2}$GM=$\sqrt{2}$，
∵∠DGB=∠GPM+∠PBG=45°+∠PBG，∠DBG=∠OBD+∠ABG=45°+∠ABG，
∴∠DGB=∠DBG，
∴DG=DB=4$\sqrt{2}$，
∴PD=PG+DG=5$\sqrt{2}$；
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)心、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理，證明三角形是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．