Question

19．如圖，已知矩形ABCD中，OA=8，AB=1，直線y=$\frac{4}{3}$x交BC于D，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從D出發(fā)，點(diǎn)P沿折線OA-AB-BD以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D停止，點(diǎn)Q沿射線OD以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．△OPQ與梯形OABD重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求D的坐標(biāo)；
（2）寫出面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）t為何值時(shí)，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）把y=1代入直線OD解析式求出x的值，確定出D坐標(biāo)即可；
（2）分兩種情況考慮：若Q在線段OD上時(shí)；若Q到D停止時(shí)，分別表示出S與t的函數(shù)解析式即可；
（3）當(dāng)Q在D處停止，P在A處停止時(shí)，△OPQ與梯形OABD重疊部分的面積為△AOD，面積最大，求出即可．

解答 解：（1）把y=1代入y=$\frac{4}{3}$x，得：x=$\frac{3}{4}$，
則D（$\frac{3}{4}$，1）；
（2）分兩種情況考慮：
若Q在線段OD上時(shí)，過(guò)Q作QM⊥OP，
在Rt△OQM中，OQ=t，OP=3t，
∵tan∠QOM=$\frac{QM}{OM}$=$\frac{4}{3}$，即QM=4a，OM=3a，
∴OQ=5a=t，即a=$\frac{t}{5}$，
∴QM=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$OP•QM=$\frac{1}{2}$×3t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{6}{5}$t²（0≤t＜$\frac{5}{4}$）；
若Q到D停止時(shí)，S=$\frac{1}{2}$×3t×1=$\frac{3}{2}$t（$\frac{5}{4}$≤t≤$\frac{8}{3}$）；
（3）當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時(shí)，S有最大值，最大值為$\frac{1}{2}$×1×8=4．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．