Question

9．如圖，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB繞頂點O逆時針旋轉到△AOB處，此時線段A′B′與BO的交點E為BO的中點，則線段B′E的長度為$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)旋轉的性質可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，從而得到OE=A′O，過點O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面積求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得A′E=2EF，然后根據(jù)B′E=A′B′-A′E代入數(shù)據(jù)計算即可得解．

解答 解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵△AOB繞頂點O逆時針旋轉到△A′OB′處，
∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3$\sqrt{5}$，
∵點E為BO的中點，
∴OE=$\frac{1}{2}$BO=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴OE=A′O，
過點O作OF⊥A′B′于F，
S_△A′OB′=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$•OF=$\frac{1}{2}$×3×6，
解得OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△EOF中，EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵OE=A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E=2EF=2×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$（等腰三角形三線合一），
∴B′E=A′B′-A′E=3$\sqrt{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了旋轉的性質，勾股定理的應用，等腰三角形三線合一的性質，以及三角形面積，熟練掌握旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵．