Question

3．已知，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，OA=OB，函數(shù)y=-$\frac{9}{x}$的圖象與線段AB交于M點，且AM=BM．
（1）求點M的坐標；
（2）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析 （1）過點M作MC⊥x軸，MD⊥y軸，根據(jù)AM=BM可得M到x軸和y軸的距離相等，則橫縱坐標互為相反數(shù)，設點M的坐標可以表示為（-a，a），代入反比例函數(shù)解析式求得a的值，得到M的坐標；
（2）根據(jù)M是AB的中點，則MC和MD是△AOB的中位線，求得OA和OB的長，即求得A和B的坐標，利用待定系數(shù)法求得AB的解析式．

解答 解：（1）過點M作MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∵AM=BM，∴點M為AB的中點，
∵MC⊥x軸，MD⊥y軸，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴點C和點D分別為OA與OB的中點，
∴MC=MD，
則點M的坐標可以表示為（-a，a），
把M（-a，a）代入函數(shù)y=-$\frac{9}{x}$中，
解得a=3，
則點M的坐標為（-3，3）；

（2）∵點M的坐標為（-3，3），
∴MC=3，MD=3，
∴OA=OB=2MC=6，
∴A（-6，0），B（0，6），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A（-6，0）和B（0，6）分別代入y=kx+b中得$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=6}\end{array}\right.$，則直線AB的解析式為y=x+6．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，平行線分線段成比例定理，以及中位線定理，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學們要熟練掌握這種方法．