Question

11．如圖1，△ABC中，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （-1，2$\sqrt{3}$），B （-3，0），C （-1，0）；如圖2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α（0°＜α＜180°）得△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，作EF⊥x軸，DG⊥x軸，垂足分別為F點(diǎn)和G點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠α=30°時(shí)，求D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)∠α為何值時(shí)，△DEC、△EFC和△DCG都相似；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若拋物線經(jīng)過D、E、C三點(diǎn)，請(qǐng)求出一條以y軸為對(duì)稱軸的拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CE=BC=2，∠ECF=30°，進(jìn)而可求出EF，CF的長(zhǎng)，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)可求出；同理即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若使△DEC、△EFC和△DCG都相似，則旋轉(zhuǎn)角不確定，所以要分四種情況分別討論：當(dāng)∠α=30°時(shí)，當(dāng)∠α=60°時(shí)，當(dāng)∠α=120°時(shí)，當(dāng)∠α=150°時(shí)；
（3）由（2）②可知，當(dāng)∠α=60°時(shí)，點(diǎn) E、D關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為y軸，易求E（-2，$\sqrt{3}$）、D（2，$\sqrt{3}$），設(shè)y=ax²+c，代入C （-1，0）、D（2，$\sqrt{3}$），求出a和c的值即可得到拋物線解析式．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A （-1，2$\sqrt{3}$），B （-3，0），C （-1，0），
∵AC=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠α=30°得△DEC，點(diǎn)A和點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，
∴CE=BC=2，∠ECF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=1，F(xiàn)C=$\sqrt{3}$，
∴FC=1+$\sqrt{3}$
∴E（-1-$\sqrt{3}$，1），
同理可得：點(diǎn)D（-1+$\sqrt{3}$，3）；
（2）①如圖2，當(dāng)∠α=30°時(shí)，△DEC、△EFC和△DCG都相似．
理由如下：
∵A（-1，2$\sqrt{3}$），B（-3，0），C（-1，0），
∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，∠ACB=90°，
∴AB=4，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
∴△DEC中，∠EDC=30°，∠DEC=60°，∠ECD=90°，
∵∠ECF=30°，∠ECD=90°，
∴∠DCG=60°，
∴∠CDG=30°，
∴在△DEC、△EFC和△DCG中：∠EDC=∠ECF=∠CDG=30°，
∠ECD=∠EFC=∠CGD=90°，
∴△DEC∽△CEF∽△DCG．
同理可得以下三種情況：
②如圖3，當(dāng)∠α=60°時(shí)，△DEC∽△ECF∽△CDG；
③如圖4，當(dāng)∠α=120°時(shí)，△DEC∽△ECF∽△CDG；
④如圖5，當(dāng)∠α=150°時(shí)，△DEC∽△CEF∽△DCG．
（3）由（2）②可知，當(dāng)∠α=60°時(shí)，點(diǎn) E、D關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為y軸．
易求：E（-2，$\sqrt{3}$）、D（2，$\sqrt{3}$），
設(shè)y=ax²+c，代入C （-1，0）、D（2，$\sqrt{3}$），得$\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 4a+c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ c=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x²-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，用到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、特殊角的銳角三角函數(shù)值、相似三角形的判定和性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，此題的難點(diǎn)在（2）小問，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)方法，做到對(duì)問題的答案不重不漏．