Question

19．如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC=2∠CBE，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF．
（1）求證：∠CBE=∠CAF；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，若∠C=45°，CG=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）由BC切⊙O于點(diǎn)B，得到∠ABF+∠CBE=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠ABF+∠BAF=90°，通過(guò)等量代換得到∠CBE=∠BAF，由已知條件∠BAC=2∠CBE，得到∠BAF+∠CAF=2∠CBE于是得到結(jié)論∠CBE=∠CAF；
（2）連接BD，證明△BED≌△BEG，得到ED=EG，由于∠C=∠CEG=45°，得到EG=CG=1，CE=$\sqrt{2}$，解直角三角形即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）證明：BC切⊙O于點(diǎn)B，
∴∠ABF+∠CBE=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠CBE=∠BAF．
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠BAF+∠CAF=2∠CBE，
即∠CBE=∠CAF；

（2）如圖，連接BD，
∵EG⊥BC于點(diǎn)G，
∴∠CBE+∠BEG=90°，
∵∠CAF+∠AEF=90°，
∴∠BEG=∠AEF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠BGE=90°，
∵BE=BE，
在△BED與△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠AEF}\\{∠BDE=∠BGE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△BEG，
∴ED=EG，
∵∠C=∠CEG=45°，
∴EG=CG=1，CE=$\sqrt{2}$，
∴DE=1，
∴CD=1+$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=45°，
∴∠BAC=45°，
∴AD=BD=CD=1+$\sqrt{2}$，
∴AB=2+$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{{2+\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．