Question

4．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x-2交于B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式及點B、C的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑；
（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)頂點式，把原點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標(biāo)；
（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，最后利用三角形的面積即可求出內(nèi)切圓的半徑；
（3）設(shè)出N點坐標(biāo)，可表示出M點坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，可求得N點的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）∵頂點坐標(biāo)為（1，1），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+1，
又拋物線過原點，
∴0=a（0-1）²+1，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+1，
即y=-x²+2x，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）由（1）知，B（2，0），C（-1，-3）；
∵A（1，1），
∴AB=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1+3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BC²=AC²
∴△ABC是直角三角形，
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，
∴r=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}{2}$=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N（x，0），則M（x，-x²+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x²+2x|，
由（2）知，AB=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∵MN⊥x軸于點N，
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時，有$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，
①當(dāng)$\frac{MN}{AB}=\frac{ON}{BC}$時，
∴$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{\sqrt{2}}=\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$，即|x||-x+2|=$\frac{1}{3}$|x|，
∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=$\frac{1}{3}$，
∴-x+2=±$\frac{1}{3}$，解得x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{7}{3}$，
此時N點坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；
②當(dāng)$\frac{MN}{BC}=\frac{ON}{AB}$，時，
∴$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{3\sqrt{2}}=\frac{|x|}{\sqrt{2}}$，
即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，
∴-x+2=±3，
解得x=5或x=-1，
此時N點坐標(biāo)為（-1，0）或（5，0），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標(biāo)為（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）或（-1，0）或（5，0）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點的對應(yīng)．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．