Question

12．如圖，直線l：y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax²-2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B．
（1）求a的值，并寫出拋物線的表達(dá)式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；
（3）經(jīng)直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當(dāng)直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設(shè)B、M′到直線l′的距離分別為d₁、d₂，當(dāng)d₁+d₂最大時，請直接寫出此時AC的值．

Answer 1

分析 （1）先確定出點B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中求出拋物線解析式；
（2）先求出點A的坐標(biāo)，表示出M的坐標(biāo)，利用面積差即可建立函數(shù)關(guān)系式，即可求出最大面積；
（3）由（2）得出點M'的坐標(biāo)，判斷出當(dāng)d₁+d₂取得最大值時，AC取得最小值，即：AC⊥B M′時，AC取得最小值，用最大面積即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）把x=0代入y=-3x+3得y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax²-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3，

（2）令y=0代入得：0=-x²+2x+3，
∴x=-1或3，
∴拋物線與x軸的交點橫坐標(biāo)為-1和3，
∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐標(biāo)為（1，0），
由題意知：M的坐標(biāo)為（m，-m²+2m+3），
S=S_{四邊形OAMB}-S_△AOB
=S_△OBM+S_△OAM-S_△AOB
=$\frac{1}{2}$×m×3+$\frac{1}{2}$×1×（-m²+2m+3）-$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$
∴當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時，S取得最大值$\frac{25}{8}$；

（3）①由（2）可知：
當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時，y=-（$\frac{5}{2}$）²+2×$\frac{5}{2}$+3=$\frac{7}{4}$，
∴M′的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）； 
②如圖，
過B點作BD垂直于l′于D點，過M′點作M′E垂直于l′于E點，
則BD=d₁，M′E=d₂，
∵S_△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×（d₁+d₂）
當(dāng)d₁+d₂取得最大值時，AC取得最小值，
∴AC⊥B M′時，AC取得最小值．
∵B（0，3）和M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）
∴BM′=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵S_△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×BM′=$\frac{25}{8}$，
∴AC=$\sqrt{5}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計算，極值的確定，解（1）的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，解（2）的關(guān)鍵是求出S與m的函數(shù)表達(dá)式，解（3）的關(guān)鍵是判斷出AC⊥B M′時，AC取得最小值．