Question

10．如圖，直線(xiàn)y=kx+b與拋物線(xiàn)y=ax²相交于點(diǎn)A，B，與x軸相交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x_A，x_B，x_C，求證：$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；
（3）若a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）將y=0代入y=kx+b，求出x的值，得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解即可；
（2）將y=kx+b代入y=ax²，整理得ax²-kx-b=0，與根與系數(shù)的關(guān)系得出x_A+x_B=$\frac{k}{a}$，x_A•x_B=-$\frac{a}$，那么$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{{x}_{A}•{x}_{B}}$=$\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{a}}$=-$\frac{k}$，又x_C=-$\frac{k}$，所以$\frac{1}{{x}_{C}}$=-$\frac{k}$，從而證明$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；
（3）根據(jù)a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°得出直線(xiàn)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$，拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²，再求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E，根據(jù)S_△AOB=S_梯形ABED-S_△AOD-S_△BOE，計(jì)算即可求解．

解答 （1）解：∵y=kx+b與x軸相交于點(diǎn)C，
而當(dāng)y=0時(shí)，kx+b=0，解得x=-$\frac{k}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{k}$，0）；

（2）證明：將y=kx+b代入y=ax²，
整理得ax²-kx-b=0，
∵直線(xiàn)y=kx+b與拋物線(xiàn)y=ax²相交于點(diǎn)A，B，
∴x_A+x_B=$\frac{k}{a}$，x_A•x_B=-$\frac{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{{x}_{A}•{x}_{B}}$=$\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{a}}$=-$\frac{k}$，
∵x_C=-$\frac{k}$，
∴$\frac{1}{{x}_{C}}$=-$\frac{k}$，
∴$\frac{1}{{x}_{A}}$+$\frac{1}{{x}_{B}}$=$\frac{1}{{x}_{C}}$；

（3）解：∵a=b=$\frac{1}{2}$，∠ACO=30°，
∴直線(xiàn)解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$，拋物線(xiàn)解析式為y=$\frac{1}{2}$x²，
將y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x²，
整理得$\frac{1}{2}$x²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{1}{2}$=0，
解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），B（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{6}$）．
如圖，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為D、E，
則S_△AOB=S_梯形ABED-S_△AOD-S_△BOE
=$\frac{1}{2}$（AD+BE）•DE-$\frac{1}{2}$AD•OD-$\frac{1}{2}$OE•BE
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{6}$）•（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{6}$
=$\frac{10\sqrt{3}}{9}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{36}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根與系數(shù)的關(guān)系，直線(xiàn)斜率的意義，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用根與系數(shù)的關(guān)系是解決（2）的關(guān)鍵；理解直線(xiàn)斜率的意義得出直線(xiàn)解析式是解決（3）的關(guān)鍵．