Question

5．如圖，二次函數(shù)y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），x=0與x=3時的函數(shù)值相等，其圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于C點．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）在第一象限的拋物線上求點P，使得S_△PBC最大．
（3）點P是拋物線上x軸上方一點，若∠CAP=45°，求P點坐標．

Answer 1

分析 分析：（1）由x=0與x=3時的函數(shù)值相等，列方程求出t值即可求解．
（2）利用待定系數(shù)法先求出直線BC的解析式，然后過點P作y軸的平行線，交直線BC于點D，用未知數(shù)設出點P、D的坐標，即可得到線段PD的長度表達式，以PD為底、OB為高，即可得到△PBC的面積函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PBC的面積最大時，點P的坐標．
（3）利用等腰三角形兩腰相等列出方程，求解

解答 解：（1）∵x=0與x=3時的函數(shù)值相等，
∴（t-1）×0²+（t+1）×0+2=（t-1）×3²+（t+1）×3+2，
解方程，得t=$\frac{1}{2}$，
把t=$\frac{1}{2}$代入二次函數(shù)y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），
∴二次函數(shù)的解析式為：y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$．
（2）如右圖過點P作PD∥y軸，交BC于點D．
把y=0代入y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，得為：$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=0，
解，得x₁=-1，x₂=4，
∴點A（-1，0），B（4，0），
又∵C（0，2）
∴直線BC：y=$-\frac{1}{2}$x+2，
設點P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
把x=a代入y=$-\frac{1}{2}$x+2，y=-$\frac{1}{2}$a+2，
∴點D的坐標為（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
∴PD=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$-（-$\frac{1}{2}$a+2）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PD•OB$=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$）×4=-a²+4a=-（a-2）²+4，
當a=2時，S_△PBC有最大值，最大值為4，
所以點P的坐標（2，3），
（3）如右圖，過點P作PE⊥AB于點E，
∵∠PAB=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，EA=EP
由（2）知點P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），E（a，0）
∴a-（-1）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$，
解這個方程，得a₁=2，a₂=-1（不合題意，舍去），
把a=2代入點P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
所以當∠PAB=45°時，點P的坐標為（2，3）

點評 此題考查的內(nèi)容在二次函數(shù)綜合題中較為常見，主要涉及了：一次（二次）函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法、二次函數(shù)的應用等基礎知識．