Question

18．（1）知識(shí)再現(xiàn)
如圖（1）：若點(diǎn)A，B在直線l同側(cè)，A，B到l的距離分別是3和2，AB=4，現(xiàn)在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最�。�作法如下；作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段BA′的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值，請(qǐng)你求出這個(gè)最小值．
（2）實(shí)踐應(yīng)用
①如圖（2），⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是2$\sqrt{3}$；
②如圖（3），Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為$\sqrt{7}$；
③如圖（4），菱形ABCD中AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K，分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為2；
④如圖（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，CD=$\sqrt{3}$，將△ABC沿直線AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEB的周長(zhǎng)的最小值是3+$\sqrt{3}$．
（3）拓展延伸
如圖（6），在四邊形ABCD的對(duì)角線AC上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠APD，保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

分析 （1）連接AB，過B作BK⊥AA′于K，求出BK，根據(jù)勾股定理求出A′B即可；
（2）①延長(zhǎng)AO交⊙O于E，連接CE交OB于P，連接AP，此時(shí)PA+PC值最小，解直角三角形求出CE即可；
②過A作AW⊥OB于W，并延長(zhǎng)AW到E，使AW=WE，連接CE交OB于P，連接AP，則此時(shí)PA+PC值最小，過E作EF⊥OA于F，求出AW，求出AE，EF，即可求出CE，根據(jù)CE能得出答案；
③過Q作QM⊥AB，交AB于M，連接PM，交BD于K，則此時(shí)PK+QK的值最小，過C作CN⊥AB于N，求出CN即可；
④求出P和D重合時(shí)符合題意，求出BC，即可得出答案；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE交AC于P，則P為所求．

解答 解：（1）
連接AB，過B作BK⊥AA′于K，
∵AB=4，AC=3，AK=1，
∴在Rt△AKB中，BK²=15，
∵KA′=5，
∴在Rt△A′KB中，BA′=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$；


（2）①如圖（2），
延長(zhǎng)AO交⊙O于E，連接CE交OB于P，連接AP，此時(shí)PA+PC值最小，
連接AC，
∵AE為直徑，
∴∠ACB=90°，AE=2×2=4，
∵∠AOC=60°，
∴∠E=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AE=2，
由勾股定理得：CE=2$\sqrt{3}$，
即PA+PC=CE=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$；

②如圖（3），
過A作AW⊥OB于W，并延長(zhǎng)AW到E，使AW=WE，連接CE交OB于P，連接AP，則此時(shí)PA+PC值最小，
過E作EF⊥OA于F，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BOA=30°，
∴∠B=60°，
∴∠BAW=30°，∠CAW=60°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=AW，
∵B（3，$\sqrt{3}$），
∴OA=3，AB=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：OB=2$\sqrt{3}$，
由三角形面積公式得：AB×OA=OB×AW，
∴AW=$\frac{3×\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3}{2}$，
∴AE=2AW=3，AF=$\frac{3}{2}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵OC=1，AF=$\frac{3}{2}$，OA=3，
∴CF=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即PA+PC的最小值是$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$；

③如圖（4），
過Q作QM⊥AB，交AB于M，連接PM，交BD于K，則此時(shí)PK+QK的值最小，過C作CN⊥AB于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，AB∥CD，
∴CN=QM，
∵在Rt△CNB中，∠CNB=90°，BC=2，∠CNB=90°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴QM=CN=$\sqrt{3}$，
即PK+QK的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案為：$\sqrt{3}$；

④如圖（5），
連接CE，交AD于F，
∵沿著AD折疊C和E重合，
∴AD垂直平分CE，即當(dāng)P和D重合時(shí)，EP+BP值最小，即△PEB的周長(zhǎng)最小，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴DE=CD=$\sqrt{3}$，
∵∠B=60°，∠DEB=90°，
∴BE=1，BD=2，
∴PB+PE=BC=2+$\sqrt{3}$，
∴△PEB的周長(zhǎng)為PE+PB+BE=2+$\sqrt{3}$+1=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：3+$\sqrt{3}$；

（3）如圖：

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能找出符合條件的P點(diǎn)事解此題的關(guān)鍵，題目求解過程類似，但是有一定的難度．