Question

6．如圖，雙曲線y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上有一動點P，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，直線AB：y=-x+1分別交PM、PN于點E、F．
（1）求證：AF=$\sqrt{2}$PM；
（2）求AF•BE的值．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥OM于G，如圖，先求出點A和點B的坐標，則可判斷△AOB為等腰直角三角形，所以∠OAB=∠OBA=45°，接著判斷△AGF為等腰直角三角形得到AF=$\sqrt{2}$FG，再證明四邊形PMGF為矩形，得到PM=FG，于是有AF=$\sqrt{2}$PM；
（2）作EH⊥ON于H，如圖，與（1）一樣可得BE=$\sqrt{2}$PN，所以AF•BE=2PM•PN，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得PN•PM=$\frac{1}{2}$，所以AF•BE=1．

解答 證明：（1）作FG⊥OM于G，如圖，
當y=0時，-x+1=0，解得x=1，則A（1，0），
當x=0時，y=-x+1=1，則B（0，1），
∴OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴△AGF為等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$FG，
∵PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∴四邊形PMGF為矩形，
∴PM=FG，
∴AF=$\sqrt{2}$PM；

（2）作EH⊥ON于H，如圖，
與（1）一樣可得BE=$\sqrt{2}$PN，
∴AF•BE=$\sqrt{2}$PM•$\sqrt{2}$PN=2PM•PN，
設(shè)P（a，b），
∵點P（a，b）在雙曲線y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）上，
∴b=$\frac{1}{2a}$，
∴ab=$\frac{1}{2}$，即PN•PM=$\frac{1}{2}$，
∴AF•BE=2PM•PN=2×$\frac{1}{2}$=1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；注意等腰直角三角形性質(zhì)的運用．