Question

如圖（1），⊙O中△ABC為等邊三角形，點O在AB上，點A在弦CD上；

（1）求證：OB+BC=CD；
（2）如圖（2），過O作OE⊥AC于E，若CD=4OB，OE=

3

，求⊙O半徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OC、OD，過O作OM∥CD交BC于M，得出等邊三角形BOM，推出三角形DAO和三角形MOC全等，即可得出答案；
（2）設OB=a，CD=4a，AC=3a，OA=2a，求出AE=

1

2

AO=a，tan∠AOE=

AE

OE

=

3

3

OE=

3

，求出a=1即可．

解答：證明：（1）連接OC、OD，過O作OM∥CD交BC于M，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵OM∥AC，
∴∠BMO=∠BCA=60°，∠BOM=∠BAC=60°，
∴OB=OM=BM，
∴△OBM為等邊三角形，
∴OB=OM，
∵∠BAC=∠OMB=60°，
∴∠DAO=∠OMC=120°，
∵AB=BC，OB=BM，
∴AO=CM，
∵∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠D+∠DOA=∠ACO+∠MCO=60°，
∵OD=OC，
∴∠D=∠ACO，
∴∠DOA=∠MCO，
在△OAD和△CMO中

OD=OC ∠DOA=∠MCO OA=CM

                        
∴△OAD≌△CMO，
∴OM=OB=AD，
∴OB+BC=CD； 
                                   
解：（2）設OB=a，CD=4a，AC=3a，OA=2a，
∵∠AOE=30°，
∴AE=

1

2

AO=a，
∵tan∠AOE=

AE

OE

=

3

3

OE=

3

，
∴a=1，CD=4，
∵OE⊥CD，
∴DE=CE=2，
∴OC=

OE2+DE2

=

7

．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，解直角三角形，等邊三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理和計算能力．