Question

2．在平面直角坐標系中，對于任意兩點A（x₁，y₁）B （x₂，y₂），規(guī)定運算：
（1）A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂）；
（2）A⊙B=x₁x₂+y₁y₂；
（3）當x₁=x₂且y₁=y₂時，A=B．
有下列四個命題：
①若有A（1，2），B（2，-1），則A⊕B=（3，1），A⊙B=0；
②若有A⊕B=B⊕C，則A=C；
③若有A⊙B=B⊙C，則A=C；
④（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）對任意點A、B、C均成立．
其中正確的命題為①②④（只填序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)新定義的運算法則，可計算出A⊕B=（3，1），A?B=0；
②設C（x₃，y₃），根據(jù)新定義得A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），則x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，于是得到x₁=x₃，y₁=y₃，然后根據(jù)新定義即可得到A=C；
③由于A⊙B=x₁x₂+y₁y₂，B⊙C=x₂x₃+y₂y₃，則x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，所以A≠C；
④根據(jù)新定義的運算法則，可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃）．

解答 解：①∵A（1，2），B（2，-1），
∴A⊕B=（1+2，2-1），A⊙B=1×2+2×（-1），
即A⊕B=（3，1），A⊙B=0，故①正確；
②設C（x₃，y₃），則A⊕B=（x₁+x₂，y₁+y₂），B⊕C=（x₂+x₃，y₂+y₃），
而A⊕B=B⊕C，
所以x₁+x₂=x₂+x₃，y₁+y₂=y₂+y₃，則x₁=x₃，y₁=y₃，
所以A=C，故②正確；
③A⊙B=x₁x₂+y₁y₂，B⊙C=x₂x₃+y₂y₃，
而A⊙B=B⊙C，則x₁x₂+y₁y₂=x₂x₃+y₂y₃，
不能得到x₁=x₃，y₁=y₃，
所以A≠C，故③不正確；
④因為（A⊕B）⊕C=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），A⊕（B⊕C）=（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃），
所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），故④正確．
綜上所述，正確的命題為①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了命題與定理，解題時注意：判斷一件事情的語句，叫做命題．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．