Question

14．如圖1，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH．
（1）如圖1，點A、D分別在EH和EF上，連接BH、AF，直接寫出BH和AF的數(shù)量關(guān)系：
（2）將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)
①如圖2，判斷BH和AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如果四邊形ABDH是平行四邊形，請在備用圖中補全圖形；如果四方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$，求正方形EFGH的邊長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分可得AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AE=BE，∠BEA=90°，EF=EH，∠HEF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②如備用圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AH∥BD，AH=BD，于是得到∠EAH=∠AEB=90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AE=BE，∠BEH=∠AEF=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∵在△BEH和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠BEH=∠AEF=90°}\\{EF=EH}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△AEF（SAS），
∴BH=AF；

（2）①BH=AF，
理由：連接EG，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠BEA=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠HEF=90°，
∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH，
即∠BEH=∠AEF，
在△BEH與△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠BEH=∠AEF}\\{EF=EH}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△AEF，
∴BH=AF；
②如備用圖，∵四邊形ABDH是平行四邊形，
∴AH∥BD，AH=BD，
∴∠EAH=∠AEB=90°，
∵四方形ABCD的邊長為$\sqrt{2}$，
∴AE=BE=CE=DE=1，
∴EH=$\sqrt{A{E}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴正方形EFGH的邊長為$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．