Question

10．在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b）及兩個圖形W₁和W₂，若對于圖形W₁上任意一點P（x，y），在圖形W₂上總存在點P'（x'，y'），使得點P'是線段PM的中點，則稱點P'是點P關(guān)于點M的關(guān)聯(lián)點，圖形W₂是圖形W₁關(guān)于點M的關(guān)聯(lián)圖形，此時三個點的坐標滿足x'=$\frac{x+a}{2}$，y'=$\frac{y+b}{2}$．
（1）點P'（-2，2）是點P關(guān)于原點O的關(guān)聯(lián)點，則點P的坐標是（-4，4）；
（2）已知，點A（-4，1），B（-2，1），C（-2，-1），D（-4，-1）以及點M（3，0）
①畫出正方形ABCD關(guān)于點M的關(guān)聯(lián)圖形；
②在y軸上是否存在點N，使得正方形ABCD關(guān)于點N的關(guān)聯(lián)圖形恰好被直線y=-x分成面積相等的兩部分？若存在，求出點N的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點P'（-2，2）是點P關(guān)于原點O的關(guān)聯(lián)點，可得點P'是線段PO的中點，繼而求得答案；
（2）①連接AM，并取中點A′，同理，畫出B′、C′、D′；繼而求得正方形ABCD關(guān)于點M的關(guān)聯(lián)圖形；
②首先設(shè)N（0，n），易得關(guān)聯(lián)圖形的中心Q落在直線y=-x上，然后由正方形ABCD的中心為E（-3，0），求得$\frac{0+n}{2}$=-$\frac{-3+0}{2}$，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵點P'（-2，2）是點P關(guān)于原點O的關(guān)聯(lián)點，
∴點P'是線段PO的中點，
∴點P的坐標是（-4，4）；
故答案為：（-4，4）；

（2）①如圖1，連接AM，并取中點A′；
同理，畫出B′、C′、D′；
∴正方形A′B′C′D′為所求作．


②如圖2，設(shè)N（0，n）．
∵正方形ABCD關(guān)于點N的關(guān)聯(lián)圖形恰好被直線y=-x分成面積相等的兩部分，
∴關(guān)聯(lián)圖形的中心Q落在直線y=-x上，
∵正方形ABCD的中心為E（-3，0），
∴Q（$\frac{-3+0}{2}$，$\frac{0+n}{2}$），
∴代入得：$\frac{0+n}{2}$=-$\frac{-3+0}{2}$，
解得：n=3．

點評 此題屬于新定義性題目．考查了一次函數(shù)的性質(zhì)以及關(guān)于點的對稱圖形．注意理解關(guān)聯(lián)圖形的定義是關(guān)鍵．