Question

13．如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中點D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點C恰在EF上，設(shè)∠BDF=α（0°＜α＜90°），當(dāng)α由小到大變化時，圖中陰影部分的面積（　　）

• A． 由小到大
• B． 由大到小
• C． 不變
• D． 先由小到大，后由大到小

Answer 1

分析 作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，構(gòu)造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，通過證明△DMG≌△DNH，把△DHN補到△DNG的位置，得到四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，于是得到陰影部分的面積=扇形的面積-正方形DMCN的面積，即為定值．

解答 解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，連接DC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$AB，
∴DM=DN，
∴四邊形DMCN是正方形，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDG=90°-∠GDN，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°-∠GDN，
∴∠MDG=∠NDH，
在△DMG和△DNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDG=∠NDH}\\{∠DMG=∠DNH}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴△DMG≌△DNH，
∴四邊形DGCH的面積=正方形DMCN的面積，
∵正方形DMCN的面積=DM²=$\frac{1}{8}$AB²，
∴四邊形DGCH的面積=${\frac{1}{8}AB}^{2}$，
∵扇形FDE的面積=$\frac{90•π•C{D}^{2}}{360}$=$\frac{πA{B}^{2}}{16}$，
∴陰影部分的面積=扇形面積-四邊形DGCH的面積=$\frac{（π-2{）AB}^{2}}{16}$（定值），
故選C．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．