Question

15．如圖a所示，BP平分∠MBN，點(diǎn)D在射線BP上，∠ADC的兩邊分別交射線BM、BN于A、C兩點(diǎn)，且∠ADC+∠MBN=180°

（1）猜想AD與DC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論；
（2）如圖b是∠ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)D作DP⊥BM于P，DQ⊥BN于N，則∠DOA=∠DQC=90°，于是得到∠PDQ+∠MBN=180°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ADC+∠MBN=180°，得到∠PDA=∠QDC，證出△ADP≌△CDQ，即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過(guò)D作DP⊥BM于P，DQ⊥BN于N，方法同（1）．

解答 解：（1）猜想：AD=DC，
過(guò)D作DE⊥BM于P，DQ⊥BN于N，
∴∠DOA=∠DQC=90°，
∴∠PDQ+∠MBN=180°，
∵BP平分∠MBN，
∴DP=DQ，
∵∠ADC+∠MBN=180°，
∴∠ADC=∠PDQ，
∴∠PDA=∠QDC，
在△ADP與△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠DQC}\\{DP=DQ}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AD=CD；

（2）成立，
如圖2，過(guò)D作DE⊥BM于P，DQ⊥BN于N，
∴∠DOA=∠DQC=90°，
∴∠PDQ+∠MBN=180°，
∵BP平分∠MBN，
∴DP=DQ，
∵∠ADC+∠MBN=180°，
∴∠ADC=∠PDQ，
∴∠PDA=∠QDC，
在△ADP與△CDQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APD=∠DQC}\\{DP=DQ}\\{∠ADP=∠CDQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AD=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．