Question

14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，E為邊DC上一點，且DE=5．延長AE交BC延長線于點F，點M在線段AE上，且EM=DE，P為邊AD上一動點，當點P從點A向點D移動時，PM交邊BC于點Q．求PQ：MQ．

Answer 1

分析 由正方形ABCD的邊長為12，得到AD=12，∠D=90°，根據(jù)勾股定理求得AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，通過△ADE∽△FCE，得到比例式$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{CE}$=$\frac{5}{7}$，于是得到EF=$\frac{91}{5}$，求出AM=8，MF=$\frac{116}{5}$，又根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PM}{QM}=\frac{AM}{MF}$=$\frac{8}{\frac{116}{5}}$=$\frac{10}{29}$，于是得到結論．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為12，
∴AD=12，∠D=90°，
∵DE=5，
∴CE=7，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=13，
∵AD∥BC，
∴AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{DE}{CE}$=$\frac{5}{7}$，
∴EF=$\frac{91}{5}$，
∵EM=DE=5，
∴AM=8，MF=$\frac{116}{5}$，
∵AP∥QF，
∴△APM∽△FMQ，
∴$\frac{PM}{QM}=\frac{AM}{MF}$=$\frac{8}{\frac{116}{5}}$=$\frac{10}{29}$，
∴PQ：MQ=39：29．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關鍵．