Question

14．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為4的⊙O，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）連結(jié)AC交BD于E，必有△ABE∽△DCE．若E為AC的中點，且AB=$\sqrt{2}$AE，請在圖中找到一個不同于△CDE的三角形，使它與△ABE相似，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OB，過圓心O作OH⊥BD于點H，再直角三角形OHB中，利用特殊角的銳角三角函數(shù)即可求出∠C的度數(shù)；
（2）△ABE∽△ACB，利用兩對邊的比值相等以及所夾的角也相等的兩個三角形相似即可證明；
（3）作AN⊥BD，CM⊥BD，由（1）和（2）可知∠ABD=∠ADB=30°，所以可得AB=AD，則BN和AN的值可求出，繼而利用三角形面積公式可分別求出△ABD的面積和△BDC的面積，進而可求出四邊形ABCD的面積．

解答 解：
（1）連接OB，OD，過圓心O作OH⊥BD于點H，如圖1，

∵BD=4$\sqrt{3}$，
∴BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
∵OB=4，
∴sin∠BOH=$\frac{BH}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOH=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°；
（2））△ABE∽△ACB，理由如下：
∵E為AC的中點，AB=$\sqrt{2}$AE，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴AB²=AE•AC，
即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
又∵∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB；
（3）作AN⊥BD，CM⊥BD，如圖2

∵△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∴AB=AD，
∵AN⊥BD，
∴BN=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABN中，tan30°=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
在△AEN和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANE=∠CME}\\{∠AEN=∠CEM}\\{AE=EC}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△CEM，
∴MC=AN=2，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$AN•BD+$\frac{1}{2}$CM•BD=$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)、垂徑定理的運用、等腰三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的運用，題目的綜合性較強，難度中等是一道非常不錯的中考壓軸題，熟記全等三角形和相似三角形的各種判定方法以及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．