Question

2．如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點，
（1）若BK=$\frac{7}{3}$KC，求$\frac{CD}{AB}$的值；
（2）聯(lián)結(jié)BE，若BE平分∠ABC，則當AE=$\frac{1}{2}$AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明；
（3）試探究：當BE平分∠ABC，且AE=$\frac{1}{n}$AD（n＞2）時，線段AB、BC，CD三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比例的性質(zhì)得到$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可；
（2）連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，根據(jù)三角形的中位線定理得到GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到EG=$\frac{1}{2}$BC，即可得到答案；
（3）連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，根據(jù)比例的性質(zhì)、仿照（2）的作法解答即可．

解答 解：（1）∵BK=$\frac{7}{3}$KC，
∴$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$，
∵AB∥CD，
∴△CKD∽△BKA，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{KC}{BK}$=$\frac{3}{7}$；
（2）猜想：AB=BC+CD．
證明：連接BD，取BD的中點F，連接EF交BC于G，
由中位線定理，得EF∥AB∥CD，
∴G為BC的中點，∠GEB=∠EBA，
又∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=$\frac{1}{2}$BC，而GF=$\frac{1}{2}$CD，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC+$\frac{1}{2}$CD；
∴AB=BC+CD；
（3）猜想：AB=$\frac{1}{n-1}$BC+$\frac{1}{n-1}$CD．
證明：連接BD，作EF∥AB交BC于G，交BD于F，
∵AE=$\frac{1}{n}$AD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，
∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{n-1}{n}$，即EF=$\frac{n-1}{n}$AB，
∵EF∥AB，AB∥CD，
∴EF∥CD，
同理，BG=$\frac{1}{n}$BC，GF=$\frac{1}{n}$CD，
∵EF=EG+GF，
即：$\frac{n-1}{n}$AB=$\frac{1}{n}$BC+$\frac{1}{n}$CD；
∴AB=$\frac{1}{n-1}$BC+$\frac{1}{n-1}$CD．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．關(guān)鍵是構(gòu)造平行線，找出由特殊到一般探索規(guī)律．