Question

20．根據(jù)市場調(diào)查，某種新產(chǎn)品投放市場的30天內(nèi)，每件銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如圖所示，日銷售量Q（件）與時(shí)間t（天）之間的關(guān)系如表所示．

t/天	5	15	20	30
Q/件	35	25	20	10

（1）根據(jù)圖象，寫出該產(chǎn)品每件銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)解析式；
（2）在所給的直角坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對（t，Q）的對應(yīng)點(diǎn)，并確定日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)解析式；
（3）在這30天內(nèi)，哪一天的日銷售金額最大？（日銷售金額=每件產(chǎn)品銷售價(jià)格×日銷售量．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)圖象，當(dāng)0＜t≤20時(shí)，設(shè)該產(chǎn)品每件銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)解析式為：P=at+b，然后把（0，30）、（20，50）代入，求出P與時(shí)間t的函數(shù)解析式；然后求出20＜t≤30時(shí)，該產(chǎn)品每件銷售價(jià)格P與時(shí)間t的關(guān)系即可．
（2）首先根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對（t，Q）的對應(yīng)點(diǎn)；然后設(shè)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)解析式為Q=mt+n，把（5，35）、（15，25）代入，求出Q與時(shí)間t的函數(shù)解析式即可．
（3）首先根據(jù)題意，設(shè)日銷售金額為y元，然后分兩種情況：①0＜t≤20；②20＜t≤30；根據(jù)日銷售金額=每件產(chǎn)品銷售價(jià)格×日銷售量，求出日銷售金額與時(shí)間的關(guān)系式；然后分別求出0＜t≤20、20＜t≤30時(shí)日銷售金額最大值，確定出在這30天內(nèi)，哪一天的日銷售金額最大即可．

解答 解：（1）當(dāng)0＜t≤20時(shí)，設(shè)該產(chǎn)品每件銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)解析式為：P=at+b，
把（0，30）、（20，50）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{30=b}\\{50=20a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=30}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)0＜t≤20時(shí)，
P=t+30；
當(dāng)20＜t≤30時(shí)，
P=50；
綜上，可得該產(chǎn)品每件銷售價(jià)格P與時(shí)間t的關(guān)系為：
P=$\left\{\begin{array}{l}{t+30（0＜t≤20）}\\{50（20＜t≤30）}\end{array}\right.$；

（2）如圖，，
設(shè)日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)解析式為Q=mt+n，
把（5，35）、（15，25）代入，
可得$\left\{\begin{array}{l}{35=5m+n}\\{25=15m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=40}\end{array}\right.$，
所以Q=-t+40，
把（20，20）、（30，10）代入Q=-t+40，銷售量Q與時(shí)間t的關(guān)系式也成立，
所以日銷售量Q與時(shí)間t的一個(gè)函數(shù)解析式為：
Q=-t+40（0＜t≤30）

（3）設(shè)日銷售金額為y元，
則y=$\left\{\begin{array}{l}{（t+30）（-t+40），（0＜t≤20）}\\{50（-t+40），（20＜t≤30）}\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}{{-t}^{2}+10t+1200，（0＜t≤20）}\\{-50t+2000，（20＜t≤30）}\end{array}\right.$
①當(dāng)0＜t≤20時(shí)，
y=-t²+10t+1200
=-（t-5）²+1225
當(dāng)t=5時(shí)，y_max=1225；
②當(dāng)20＜t≤30時(shí)，
y=-50t+2000＜-50×20+2000=1000，
因?yàn)?000＜1225，
所以這30天內(nèi)，第5天的日銷售金額最大，是1225元．
答：在這30天內(nèi)，第5天的日銷售金額最大，是1225元．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了函數(shù)解析式的確定，考查了分類討論思想的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍．
（2）此題還考查了函數(shù)最值的求法，注意配方法的應(yīng)用，注意函數(shù)單調(diào)性的判斷，要熟練掌握．